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数学小知识你知道吗?
浏览: 发布日期:2017-08-16
一、算术与代数
  人类有数的概念,与人类开始用火一样古老,大约在30万年前就有了,但是有文字记载 的数到公元前3400年左右才出现,至于数的四则运算则更晚。在我国,《九章算术》是古代 数学最重要的著作,是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、补充而成的一部数学著作。 在这本书中有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足术、解三元线性代数方程组、正负数 、开方以及一些计算几何图形的面积与体积的方法等。在西方,也或迟或早地出现了这些内 容,而这些内容包括我们从小学一直到中学所学习“算术”课程的全部内容。也就是说人类 经过了几千年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容,现在每个人在童年时代花几年就全 部学会了。对于“算术”来讲,“真正的进展”是由于“更有力的工具和更简单的方法的发 现”,这个工具与方法是“数字符号化”,从而产生了另一门数学“代数”,即现在中学中 的“代数”课程的内容。在我国,约13世纪五六十年代的著作中,有“天元术”和“四元术 ”,也就是相当于现在用x,y,z,w来表述四个未知数。有了这些“元”,也就可以解一些代 数方程与联立线性代数方程组了。西方彻底完成数字符号化是在16世纪。现在中学学习的“ 代数”的内容包括:一元二次方程的解,多元(一般为二元、三元,至多四元)联立方程组 的解,等等。当然在“数字符号化”之前,一元二次方程的解、多元联立方程组的解已经出 现,例如我国古代已经有一些解一般数字系数的代数方程的“算法程序”,但这些都是用文 字来表达的,直到“数字符号化”之后,才出现了现在中学代数内容的表达形式。
  由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容,的的确确是“数学中真正的进展”。 “代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”,“算术”顾名思义,可以理解为“计算 的方法”,而“代数”可以理解为“以符号替代数字”,即“数字符号化”。人类从“算术 ”走向“代数”经历了1000多年。但在中学的课程中,却只花短短的几年,就可以全部学会 这些内容。
  回忆我在童年时代,在小学学习“算术”课程时,感到很难。例如求解“鸡兔同笼”题 ,当时老师讲的求解的方法,现在已完全记不得了,留下的印象是感到很难,而且纳闷的是 :鸡与兔为何要关在一个笼子里?既然数得清有多少个头及多少只脚,为何数不清有多少只 鸡与多少只兔?等到初中时学习了“代数”课程,才恍然大悟,这不过是二元一次联立代数 方程组,解方程组十分简单方便,这不仅可以用来解“鸡兔同笼”,即使“鸭狗同室”的问 题一样可以解。因此,“代数”显然比“算术”来得“高级”,这的确是“更有力的工具和 更简单的方法”,而这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论,并把“陈旧的、复杂的 东西抛到一边”,也就是从“代数”的角度来理解“算术”,可以理解得更深刻,且可以把 “算术”中一些复杂的、处理个别问题的方法抛到一边去。
  在这里,我要重复说一遍,尽管中学的“代数”比小学的“算术”来得“高级”,是“ 更有力的工具与更简单的方法”,但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了,因为:( 1)“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代,如四则运算等;(2)即使能被替代 的内容,适当地学习一些,有利于对“代数”内容的认识与理解;(3)从教育学的角度考 虑,这里有循序渐进的问题,有学生不同年龄段的接受能力的问题,等等。
  作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次联立方程组。在中学“代数”的教材 中,一般着重讲二元或三元一次联立方程组,所用的方法往往是消元法。但是,如果变元为 四个或更多时,就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。经过很多年的努力,矩 阵的想法产生了,这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论,而且由此建立起一门 新的学科——“线性代数”。这是又一次“数学中真正的进展”,由于“更有力的工具和更 简单的方法”即“矩阵”的发现,不仅对多元一次联立代数方程组的理解更为清楚,更为深 刻,而且由于有了统一处理的方法,就可以把个别地处理方程组的方法“抛到一边”。
  中学“代数”中的另一个重要内容是解一元二次方程,在古代,例如《九章算术》中已 有解一般一元二次方程的方法,后来有很多的发展。直到19世纪,为了解决什么样的特殊的 代数方程能用根式来求解这个问题,伽罗瓦(1811—1832)建立起“群”的概念。这就意味 着现代代数理论的产生,这是又一次“数学中真正的进展”。有了“群”以及后来发展起来 的现代代数理论,使人们可以更清楚、更深刻地理解以往高次代数方程求根式解的问题。
数学历史的启示(下)
龚 昇
二、几何与三角
  人类在很早的时候,就有各种计算面积与体积的公式或经验,也得到了不少几何定理, 例如著名的毕达哥拉斯定理等。但在古代,几何的代表作则是欧几里得的《原本》。现在中 学里学习的“平面几何”与“立体几何”的基本内容,是2300年前《原本》已有的内容。从 《原本》问世以来,几何领域一直是它的一统天下,这种现象持续了1000多年。“真正的进 展”是由笛卡儿与费马建立起的“解析几何”,其基本思想是在平面上引进“坐标”,使得 平面上的点与实数对(x,y)之间建立起一一对应的关系,于是几何问题就可以用代数形式 表达,而几何问题的求解就归化为代数问题的求解了。笛卡儿甚至还提出过一个大胆的计划 ,即:
  任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。
  “解析几何”的产生可以理解为变量数学的开始,它为微积分的产生创造了条件。由于 引进了坐标,几何问题归结为代数问题,于是可以用一些代数的工具与方法来处理,从而使 几何问题得解,这种思想与方法,使整个数学面目为之一新。
  既然“解析几何”是“数学中一步真正的进展”,“解析几何”比起“平面几何”与“ 立体几何”都来得高级,那么“平面几何”与“立体几何”是不是就不要学习了,直接学习 “解析几何”就可以了呢?从教育学的观点,这显然是不对的。我们所说的“把陈旧的、复 杂的东西抛到一边”,是指当“解析几何”产生之后,那种用原来的方法来创造与发明几何 定理的时代已经过去了,虽然这种做法延续了1000多年,但这并不意味着可以将“平面几何 ”与“立体几何”“抛到一边”。在中学必须学习“平面几何”与“立体几何”至少有以下 几点理由:(1)可以认识人们生活的三维欧氏空间中一些最基本的几何关系与性质;(2) 不学习“平面几何”与“立体几何”,就无法学习“解析几何”与“微积分”;(3)“平 面几何”与“立体几何”是训练学生严格逻辑思维的最好的方法之一,这种训练比上一门“ 形式逻辑”课更为有效,它对学生终生有用。当然中学“平面几何”与“立体几何”应讲授 多少内容是一个值得探讨的问题,完全取消是绝对错误的,但做过多的几何难题似乎也是不 必要的。
  古典几何的另一个“真正的进展”,则是“非欧几何”的产生,这是数学史上的划时代 贡献。
  如前所述,欧几里得的《原本》从诞生直到18世纪末,在几何领域,它是一统天下,几 乎成为“科学圣经”。但在同时,人们多认为五条公设中的前四条简洁、明了,无可非议, 而对第五公设,即“若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角,那么把两直线 无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交”,则感到它不像一条公设,而更像 一条定理,即可以从其他公设、公理及定理中推导出来。
  2000多年来,不知有多少数学家致力于用其他的公设、公理及定理来证明第五公设,甚 至有人为之付出了整个一生,但还是以失败告终。直到19世纪,由高斯、波尔约及罗巴切夫 斯基创立了“非欧几何学”,才结束了这件公案。“非欧几何学”一反过去人们试图从其他 公设、公理及定理来证明第五公设的做法,认为第五公设不可能从其他的公设、公理及定理 中推导出来,而发展起第五公设不成立的新的几何学。高斯称之为“非欧几里得几何学”, 简称“非欧几何学”。1854年黎曼在“非欧几何学”的思想基础上建立了更为广泛的几何学 ,即“黎曼几何学”,开创了几何学甚至整个数学的新纪元,而其发展更是一日千里。众所 周知,爱因斯坦的相对论正是以“黎曼几何”作为其数学工具的。
  经历了2000多年的思索与努力,“非欧几何”的产生的确是“数学中一步真正的进展” ,把已有的理论——欧几里得几何学,从更高、更深的角度去理解,而把那些陈旧的思想— —试图用其他公设、公理及定理来证明第五公设的一切做法“抛到一边”。
  在中学数学课程中,还有一门叫“三角”。这门课程,主要讨论六个三角函数的相互关 系及计算。人类对三角学的研究可以追溯到公元1~2世纪。当时的天文学研究,已经为三角 学奠定了基础,例如已经有了类似于正弦及正弦的表等。经过了几百年的努力,到9~10世 纪,三角函数的研究已系统化,到了13世纪,球面三角也基本完成。因此,现在中学学习的 “三角学”,其内容基本上在千年前就形成了。
  人们从更高、更深的角度来认识“三角学”,是由于复数的引入。人们对复数的思考由 来已久,例如对方程x2+1=0的根的思考,但人们认真地将虚数=i引入数学则是16世纪的事 了。之后欧拉建立了著名的欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,使得三角学中的问题都可以化 归为复数来讨论,于是三角学中一大批问题得以轻松地解决。有了复数与欧拉公式,使人们 对三角学的已有理论的理解更为深刻,并可以把一些原始的、复杂的处理三角学的方法与工 具“抛到一边”。
  我还得重复一遍,尽管复数与欧拉公式比三角学来得“高级”,但并不意味着中学课程 可以不学习三角学。事实上,三角学是一门实用的数学分支,在很多其他学科中都有用。